Рулетка математикаси · Амалий · 8 дақиқа

Келли мезони ва рулетка

Келли мезони устунликка эга ўйинчига қанча тикиш кераклигини айтади. Рулетка учун у аниқ жавоб беради: ҳеч нарса.

Қисқа жавоб

Келли бўйича ставка = устунлик / тўлов нисбати. Устунлик манфий бўлса, формула манфий улуш беради, бу эса ставка қўйманг, дегани. Мезон барибир фойдали: у оғиш ўйинчилари ставкаларини нега айнан шундай ўлчаганини ва бошқа ҳамма нега ставкани бюджетга қараб белгилаши кераклигини тушунишга ёрдам беради.

Келли улуши
f* = (bp − q) / b
қизил учун
(1 × 18/37 − 19/37) / 1 = −1/37
талқин
ҳеч нарса тикманг
1/30 частотали катак учун
≈ ўйин бюджетининг +0,6% и

Мезон

Жон Келли (1956) маълум устунликка эга қиморбоз ўйин бюджетипулЎйин бюджетиЎйинга ажратилган жами миқдор. Ўйин бюджетини бошқариш – унинг ҳар бир ставка ва сессияда қанчасини хавфга қўйишни белгилашдир.Тўлиқ ўқиш →нинг узоқ муддатли ўсишини максимал қилиш учун ставкаларни қандай ўлчаши керак, деган саволни қўйди. b га 1 тўлайдиган, ютиш эҳтимолликматематикаЭҳтимолликНатижа юз бериш имконияти, 0 дан 1 гача ёки 0% дан 100% гача. Битта рақам: 1/37 = 2,70%.Тўлиқ ўқиш →и p ва ютқазиш эҳтимоллиги q = 1 − p бўлган ставка учун жавоб: бюджетнинг f* = (bp − q) / b улушини тикиш. f* мусбат бўлса, шу улушни тикинг; нол ёки манфий бўлса, ставка қўйманг. Келли Bell Labsда ишлаган, унинг “A new interpretation of information rate” (“Ахборот тезлигининг янги талқини”) мақоласи масалани Клод Шенноннинг ахборот назарияси доирасига қўйган: шовқинли линия орқали маслаҳат оладиган ва адолатли нисбатларда тикадиган қиморбоз ўз бюджетини кўпи билан линия ахборот узатадиган тезликда ўстира олади. 1961-йилда Лео Брейман Келли бўйича тикиш узоқ муддатда ҳар қандай моҳиятан бошқача стратегиядан олдинда бўлишини ва белгиланган мақсадга тахминан энг қисқа вақтда эришишини исботлади.

Қиморбоз шовқинли линия орқали маслаҳатлар эшитади ва бюджетининг бир қисмини тикади.

Рулеткада Келли бўйича тикиш

ҚизилставкаҚизил18 та қизил рақамга тенг пул ставкаси. Французчаси: rouge.Тўлиқ ўқиш → учун: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Битта рақамга ставкаставкаБитта рақамга ставкаБитта рақам, 35:1 тўлайди.Тўлиқ ўқиш → учун: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Ҳар бир стандарт ставка манфий Келли улушини беради, чунки ҳар бир ставканинг устунлиги манфий, ўсиш учун оптимал ставка эса нолга тенг. Рулеткада Келли бўйича тикиш казино устунлиги саҳифаси айтган нарсани расмий тарзда ифодалашдир: манфий кутилмали ставка ўйин бюджетини ўстирадиган бирор ўлчам йўқ.

ставкаbpf* = (bp − q)/bмаъноси
қизил, Европа118/37−0,027ставка қўйманг
қизил, la partage118/37 (+нолда ½)−0,0135ставка қўйманг
битта рақамга351/37−0,00077ставка қўйманг
1/30 частотали катакка битта рақамга ставка (оғишли)351/30+0,0057бюджетнинг 0,57% ини тикинг
1/25 частотали катакка битта рақамга ставка351/25+0,0126бюджетнинг 1,26% ини тикинг

Келли қаерда ҳақиқатан қўлланилган

Оғиш ўйинчиларида устунлик ҳам, ставка ўлчами муаммоси ҳам бор эди. Жаггер, Гарсия-Пелайолар ва Эвдемонлар ўлчанган устунликларига қанча тикишни ҳал қилишлари керак эди: кам тикиш устунликни беҳуда кетказади, ортиқча тикиш эса устунлик намоён бўлгунча бутунлай ютқазиш хавфини туғдиради. 30 тадан 1 марта тушадиган катакжиҳозКатакРотордаги 37 рақамли бўлинманинг биттаси. Шунингдек: slot, cup.Тўлиқ ўқиш → учун Келли ҳар айлантиришда шу рақамга бюджетнинг 0,57% ини тикишни айтади: $10 000 билан бир айлантиришга тахминан $57, бу бир айлантиришда тахминан 0,054% одатий ўсиш ёки 1 000 айлантиришда ×1,7 беради. Ўртача даромад бунинг икки баравари, бир айлантиришга 0,11%, аммо Келли ўртача бюджетни эмас, одатий бюджетни кўзлайди; ўртачани эса бир нечта омадли серия шиширади. Устунлик баҳоси ноаниқ бўлгани учун амалда одатда ярим Келли танланади.

Битта рақамга ставкада Келли ставкаси, бюджетнинг % и, катакнинг ҳақиқий частотаси бўйича%
1/37 (адолатли)
0% · ставка қўйманг
1/35
0,08%
1/33
0,26%
1/30
0,57%
1/25
1,26%
1/20
2,0%
%
012,0%
Ҳатто катта оғиш ҳам кичик ставкаларни талаб қилади: тўлов нисбати катта, дисперсия эса юқори.

Машҳур рулетка ўйинчилариЭвдемонлар

Одатий ва ўртача

Одатий ўйин бюджети билан ўртача бюджет орасидаги фарқ катта. 25 тадан 1 марта тушадиган катакни олинг: устунлик 44%, Торп ўз қурилмаси учун келтирган кўрсаткич. Келли унга бюджетнинг 1,26% ини тикади. 1 000 айлантиришдан кейин одатий бюджет тахминан 11,5 баравар ўсган бўлади, бир нечта жуда омадли серия юқорига тортган ўртача эса тахминан 249 баравар. Келлидан кўпроқ тикиш ўртачани оширади ва одатий натижани пасайтиради: Келли ставкасининг икки бараварида одатий бюджет фақат икки баравар бўлади, Келли ставкасининг икки ярим бараварида эса у қисқаради, гарчи ҳар бир ставка ҳамон 44% устунликка эга бўлса ҳам. Камроқ тикиш арзонга тушади: ставканинг ярми ўсишнинг тахминан тўртдан уч қисмини сақлаб қолади.

ставка, Келли улушиставка, бюджетнинг % и1 000 айлантиришдан кейин одатий бюджет
½0,63%× 6,7
11,26%× 11,5
1½1,89%× 7,4
22,51%× 2,2
2½3,14%× 0,38
33,77%× 0,04
25 тадан 1 марта тушадиган, 35 га 1 тўланадиган битта катак. Одатий деганда медиана, яъни e нинг бир айлантиришдаги ўсишнинг 1 000 бараварига тенг даражаси тушунилади.

Устунлик тахмин бўлса

Келли устунлик маълум, деб фараз қилади. Столда у баҳоланади ва баҳо одатда ҳаддан ташқари юқори бўлади. Эпштейннинг Торпнинг 44% ига асосланган мисолида қўш нолғилдиракНолҲеч бир тенг пул, ўн иккилик ёки устун ставка қопламайдиган ягона яшил катак; казино устунлигининг манбаи. Шунингдек: битта нол, 0.Тўлиқ ўқиш →ли ғилдиракнинг 1 225 айлантиришида 49 марта тушган рақам бор: 25 тадан 1 марта, 44% устунлик, 1,26% Келли ставкаси. Аммо адолатли қўш нолли ғилдиракда 38 та рақам бор ва улардан энг кўп тушгани 1 225 айлантиришда тахминан тўққиз ҳолатдан бирида 49 ёки ундан кўп марта тушади. Ҳар қандай ёзувдаги энг кўп тушган рақам омад энг кўп ёрдам берган рақам ҳамдир, шунинг учун ҳақиқатан оғишли катак ҳам ёзувда ўзидан яхшироқ кўринади: бу ғолиб лаънати. Агар бу катак аслида оғишсиз бўлса, Келли ставкаси шунчаки ўртача 5,26% ютқазадиган ставкадир. Одатий жавоблар: Келли ставкасининг бир улушини тикиш ва устунлик янги ёзувда ҳам сақланиб қолгунча санашда давом этиш (Рулетка ғилдирагидаги оғишни қандай аниқлаш мумкин саҳифасига қаранг).

Устунликка эга одамлар

Устунликни билиш ундан яхши фойдаланиш билан бир хил эмас. Хагани ва Дьюи (2016) 61 кишига $25 дан бериб, 60% ҳолларда герб тушади, деб айтилган тангага ярим соат ставка қўйишни таклиф қилишди; ютуқлар $250 билан чекланган эди (ўйинчилар чеклов ҳақида фақат унга етганда билишган). Келли ҳар сафар гербга бюджетнинг 20% ини тикишни айтади, муаллифлар эса 10–20% лик барқарор ставкалар тахминан 95% ҳолларда чекловга етади, деб ҳисоблашади. Ўйинчиларнинг фақат 21% и унга етди. 28% и ҳамма пулини йўқотди, 61 кишидан 18 таси битта ташлашга ҳаммасини тикди, тахминан учдан бир қисми ўйинни бошлаган $25 идан камроқ билан якунлади, ўртача тўловпулТўловЮтуқли ставка қайтарадиган миқдор; қайтарилган ставкадан ташқари “X га 1” нисбатида кўрсатилади.Тўлиқ ўқиш → эса $91 бўлди. 61 кишидан фақат бештаси Келли мезони ҳақида эшитган эди. Устунлик бўлса, уни сақлаб қолишингизни ставкалар ўлчами ҳал қилади; устунлик бўлмаса, адолатли ғилдиракдаги каби, ҳеч қандай ўлчам ёрдам бермайди.

Бир ўйинчи битта ташлашга ҳаммасини тикади, унинг ёнидаги эса кичик улуш тикади.

Унинг ўрнига нимадан фойдаланиш керак

Устунлик бўлмаса, ставка ўлчами ўсиш масаласи эмас, бюджет масаласидир: ставка = бир айлантиришга сарфлашга тайёр бўлган суммангиз, у соатлик бюджет ва стол суръатидан келиб чиқади (Рулетка ўйин бюджетини бошқариш саҳифаси). Келлининг оддий ўйинчига қўшган ҳиссаси жавобининг аниқлигидир: нол. Нолдан юқори тиккан ҳар бир суммангиз ўйнаш нархи бўлиб, уни сиз танлайсиз, ҳеч қандай формула оптималлаштирмайди.

Каср Келли ва “пул бошқаруви” ҳақида эслатма

“Рулетка учун Келли” деб сотиладиган ва ҳар бир ставкага бюджетнинг қатъий фоизини тавсия қиладиган тизимлар кичрайиб борувчи ставка билан бир хил ставка қўйишстратегияБир хил ставка қўйишҲар айлантиришда бир хил миқдорга ставка қўйиш. Ҳар бир ошириш тизими таққосланадиган асос.Тўлиқ ўқиш →дир. Улар айланмапулАйланмаСессия ёки даврда тикилган жами миқдор, қайта тикилган ютуқларни ҳам ҳисоблайди. Шунингдек: handle, action.Тўлиқ ўқиш →нинг 2,70% ини йўқотади ва ютқазган сари ставка кичрайиши сабабли бутунлай ютқазишни эҳтимолдан йироқ қилмайди, фақат секинлаштиради. Бу бюджетни узоқроқ етказишнинг оқилона усули; аммо бу Келли эмас, Келли тўхтанг, деган бўларди.

Бир хил ставкали рулетка стратегияси

Formula

f* = (b·p − q) / b
қизил: f* = −1/37 · битта рақамга ставка: f* = −1/1295
r частотали оғишли катак: f* = (35r − (1 − r)) / 35

Саволлар

Келли қачондир рулеткага ставка қўйишни айтадими?

Фақат оғишли ғилдираклабораторияОғишли ғилдиракЖисмоний нуқсонлари айрим катакларга тушиш эҳтимолини 1/37 дан юқори қиладиган ғилдирак. Кам учрайди; фақат минглаб қайд этилган айлантиришлар билан аниқланади.Тўлиқ ўқиш → ёки вақтни ўлчовчи қурилма орқали ўлчанган устунлик бўлса. Адолатли ғилдиракда эмас.

Нега ярим Келли?

Чунки устунлик баҳосида хато бор, ортиқча тикиш эса кам тикишдан қимматроққа тушади. Ярим Келли ўсишнинг тўртдан уч қисмини дисперсияматематикаДисперсияНатижалар кутилган қиймат атрофида қанчалик кенг тарқалишини ўлчайдиган миқдор. Битта рақамга ставкада юқори, тенг пул ставкаларда паст.Тўлиқ ўқиш →нинг тўртдан бири эвазига беради.

Келли ўйин бюджетини бошқариш билан бир хилми?

Йўқ. Келли устунлик мавжуд бўлганда ўсишни оптималлаштиради. Ўйин бюджетини бошқариш эса устунлик йўқ бўлганда харажатни назорат қилади.

Қизиқарли математика

Аввал ўзингиз ечиб кўринг. Ҳар бир ечим ёпиқ туради; тайёр бўлганингизда очинг.

  1. Торп ва Шенноннинг башорат қурилмаси тахминан 44% устунлик берган. Башорат қилинган битта рақамга Келли ўйин бюджетипулЎйин бюджетиЎйинга ажратилган жами миқдор. Ўйин бюджетини бошқариш – унинг ҳар бир ставка ва сессияда қанчасини хавфга қўйишни белгилашдир.Тўлиқ ўқиш →нинг 1,26% ини тикишни айтади. Агар худди шу 44% устунлик қўшни бешта рақамга тақсимланган битта ставкада бўлса-чи?

    Ечимни кўрсатиш

    Жавоб Унда Келли бюджетнинг 7,1% ини тикишни айтади ва бюджет деярли олти баравар тезроқ ўсади: 1 000 ставкада тахминан 1,25 миллион баравар, тахминан 11,5 бараварга қарши.

    44% устунликка эга битта рақамга ставкаставкаБитта рақамга ставкаБитта рақам, 35:1 тўлайди.Тўлиқ ўқиш → 0,04 эҳтимоллик билан ютади, чунки 36 × 0,04 = 1,44. Келлининг тикилган суммаси – устунликнинг тўлов нисбатига бўлинмаси: 0,44/35 = 1,26%. Бир ставкадаги одатий ўсиш 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, демак 1 000 ставка бюджетни тахминан e^2,44 ≈ 11,5 баравар оширади.

    Битта тикилган суммани бешта рақамга тақсимланг: ставка 0,20 эҳтимоллик билан ютади ва 1 эвазига 36/5, яъни 6,2 га 1 тўлайди: устунлик барибир 44%, чунки 0,2 × 7,2 = 1,44. Келлининг тикилган суммаси 0,44/6,2 = 7,10% бўлади, бир ставкадаги ўсиш эса 0,01404, тахминан 5,75 баравар кўп. 1 000 ставкада бу e^14,04, тахминан 1,25 миллион.

    Устунлик бир хил; тебранишлар кичикроқ. Бештадан бир марта ютадиган ставка бутунлай ютқазиш хавфисиз бюджетнинг каттароқ улушини кўтара олади ва Келли ўсиши буни рағбатлантиради. Торп (1984) бу мисолдан башоратчи ўйинчилар нега секторғилдиракСекторҒилдиракдаги катакларнинг узлуксиз ёйи; жойлашув жадвалидаги гуруҳдан фарқ қилади.Тўлиқ ўқиш →ларга тикишини кўрсатиш учун фойдаланади. Амалда бешта қўшниставкаҚўшниларҒилдиракда бир рақам ва унинг икки ёнидаги катаклар: бешта битта рақамга ставка.Тўлиқ ўқиш → энг яхши битта рақамга қараганда бироз пастроқ устунликка эга (“Рулеткада устунлик билан ўйнаш” саҳифасига қаранг).

  2. Ўйинчи ҳар бири 37 дан 1 ўрнига 25 дан 1 марта тушадиган иккита қўшни катакжиҳозКатакРотордаги 37 рақамли бўлинманинг биттаси. Шунингдек: slot, cup.Тўлиқ ўқиш → топди. У улар орасидаги бўлинган ставкаставкаБўлинган ставкаИкки қўшни рақам, 17:1 тўлайди.Тўлиқ ўқиш →ни 17 га 1 дан тикиши керакми ёки ҳар бир рақамга алоҳида битта рақамга ставка қўйиши керакми? Келли қанча дейди ва бюджет битта шундай катакка нисбатан қанчалик тез ўсади?

    Ечимни кўрсатиш

    Жавоб Фарқи йўқ: бўлинган ставкага бюджетнинг 2,59% и ёки ҳар бир рақамга 1,29%. Одатий бюджет 1 000 айлантиришда тахминан 155 баравар ўсади, битта катак билан эса 11,5 баравар.

    Бўлинган ставка 2/25 = 0,08 эҳтимолликматематикаЭҳтимолликНатижа юз бериш имконияти, 0 дан 1 гача ёки 0% дан 100% гача. Битта рақам: 1/37 = 2,70%.Тўлиқ ўқиш → билан ютади ва 17 га 1 тўлайди, шунинг учун тикилган ҳар бир бирликпулБирликТизим ёки ўйинчи асос қиладиган бошланғич ставка. Ошириш тизимлари исталган столда қўлланиши учун бирликларда тасвирланади.Тўлиқ ўқиш →ка 18 × 0,08 = 1,44 қайтаради: устунлик 44%, битта оғишли катакдаги билан бир хил. Келлининг тикилган суммаси – устунликнинг тўлов нисбатига бўлинмаси: 0,44/17 = 2,59%.

    Ҳар бири 1,29% лик иккита битта рақамга ставка айнан бир хил натижа беради. Икки рақамдан бири тушса, битта жетонпулЖетонБелгиланган миқдорни ифодаловчи ва ставка қўйиш учун жойлашув жадвалига қўйиладиган белги. Шунингдек: check.Тўлиқ ўқиш → 35 га 1 ютади, иккинчиси йўқотилади, соф натижа 34 × 1,29% = бюджетнинг 44% и, худди бўлинган ставка тўлаганидек; ҳеч бири тушмаса, иккаласи ҳам йўқотилади.

    Бир айлантиришдаги ўсиш 0,00505, битта катакдаги 0,00244 га қарши, шунинг учун 1 000 айлантиришда одатий бюджет e^2,44 ≈ 11,5 баравар эмас, e^5,046 ≈ 155 баравар ўсади. Иккита яхши рақам биттасининг икки бараваридан анча қимматроқ, шунинг учун оғишдан фойдаланувчи ўйинчилар рақамлар гуруҳига тикади. Торп (1984) худди шу таққослашни бажаради.

Бироз ҳазил

Рулеткада ўсиш учун оптимал ставка ҳамма аллақачон биладиган сон.

Рулеткада ўсиш учун оптимал ставка ҳамма аллақачон биладиган сон.

Манбалар

  1. Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.” Bell System Technical Journal 35(4), 1956.
  2. Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.” Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1-жилд, 1961.
  3. Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.” Review of the International Statistical Institute 37(3), 1969.
  4. Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling. Gambling Times / Lyle Stuart, 1984.
  5. Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed. Academic Press, 2013.
  6. Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed. CRC Press, 2021.
  7. Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. 13-боб, рулетка.
  8. Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.” Ишчи мақола, 2016-йил октябрь; SSRN 2856963, arXiv:1701.01427.
Рулетка ставка стратегиялариРулетка ўйин бюджетини бошқаришРулетка лабораториясиРулетка ғилдирагидаги оғишРулетка лабораториясиРулеткада устунлик билан ўйнашРулетка лабораториясиРулетка компьютерлариРулетка математикасиБутунлай ютқазиш хавфи
текширилган сана: 2026-09-28модель: Европа, битта нолметодология ↗манбалар ↗