Масала: туғилган кун ғилдираги
Бирор рақам такрорлангунча қанча айлантириш керак? Кўпчилик тахмин қилганидан анча кам.
37 катакжиҳозКатакРотордаги 37 рақамли бўлинманинг биттаси. Шунингдек: slot, cup.Тўлиқ ўқиш →ли ғилдиракдаги туғилган кун масаласи: атиги 8 айлантиришдан кейин бирор рақам аллақачон икки марта чиққан бўлиш эҳтимоли яримдан юқори. Ўйинчилар такрорланишларни қонуният деб ўқийди; аслида бу адолатли ғилдиракнинг кутилган хатти-ҳаракати.
Масала
Адолатли Европа ғилдирагини айлантиринг. Камида иккита айлантиришда бир хил рақам чиққан бўлиш эҳтимолликматематикаЭҳтимолликНатижа юз бериш имконияти, 0 дан 1 гача ёки 0% дан 100% гача. Битта рақам: 1/37 = 2,70%.Тўлиқ ўқиш →и яримдан ошиши учун нечта айлантириш керак? Кўпчилик ўйинчилар 37 нинг ярми, 18 ёки 19 атрофида, деб тахмин қилади. Жавоб – 8.
Ечим
Такрорланмаслик эҳтимоллигини ҳисобланг ва уни бирдан айиринг. k та айлантиришдан кейин p(ҳаммаси ҳар хил) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). k = 8 учун: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, демак p(бирор такрорланиш) ≈ 0,56. k = 14 учун у 0,93; k = 20 учун 0,996. Сезги адашади, чунки айлантиришлар жуфтликлари сони k² каби ўсади ва исталган жуфтлик мос келиши мумкин.
Столда бу нега муҳим
Охирги 20 рақамни кўрсатадиган натижалар таблосида деярли ҳар доим камида битта, кўпинча икки ёки учта такрорланиш бўлади. Ўйинчилар “17 ўн айлантиришда икки марта чиқди” ни кўриб, 17 иссиқ, деган хулосага келади; туғилган кун ҳисоби эса ўн айлантириш ичида такрорланиш 74% ҳолларда содир бўлишини ва такрорланган рақам тасодифий эканини айтади. Такрорланиш ҳақиқатан содир бўлган; унинг маъноси эса йўқ.
Давомий масала
Муайян рақам, айтайлик 17, икки марта чиқиши учун қанча айлантириш керак? Бу анча катта жавобли бошқа савол: кутилган кутиш 74 айлантириш, 20 айлантириш ичида иккита 17 чиқиш эҳтимоллиги эса тахминан 10%. “Бирор рақам такрорланади” (8 айлантириш) билан “айнан шу рақам такрорланади” (74 айлантириш) орасидаги фарқ – кейин пайқаладиган қонуният билан олдиндан қилинадиган башорат орасидаги бутун фарқдир.
Синаб кўринг
Демо ўйинни ўн айлантириш давомида ишга туширинг ва тарихга қаранг. Одатда такрорланиш бўлади. Яна ишга туширинг. Такрорланган рақам бошқача бўлади. Буни ўн марта қилинг – туғилган кун масаласиматематикаТуғилган кун масаласиИкки кишининг туғилган куни бир хил бўлиши эҳтимоли юқори бўлиши учун нечта киши, ёки рақамнинг қайталаниши эҳтимоли юқори бўлиши учун нечта айлантириш кераклиги ҳақидаги масала. 37 катакли ғилдиракда 8 та айлантириш ярмидан ортиқ эҳтимол беради.Тўлиқ ўқиш →ни кўрган бўласиз; минг марта қилинг (симуляторлар буни қила олади) – уни ўлчаган бўласиз.
Formula
Саволлар
Айнан, фақат 365 кун ўрнига 37 катак билан. Туғилган кунлар учун 23 киши 50% беради; ғилдирак учун 8 айлантириш 56% беради.
Тахминан 19 айлантиришдан кейин 50%. Бу ҳам одатий ҳол.
Йўқ. Битта ғилдиракдаги минглаб айлантиришлар далолат бериши мумкин; битта такрорланиш эса ҳеч қачон.
Қизиқарли математика
Аввал ўзингиз ечиб кўринг. Ҳар бир ечим ёпиқ туради; тайёр бўлганингизда очинг.
Америка ғилдираги ёнидаги натижалар таблоси охирги 16 та айлантиришни кўрсатади. Унда бирорта ҳам рақам икки марта учрамаслиги қанчалик эҳтимолли?
Ечимни кўрсатиш
Жавоб Тахминан 2,5%: тахминан 40 та таблодан 39 тасида камида битта такрор бор.
Айлантиришларни бирма-бир кўриб чиқинг. Биринчи айлантириш исталган бўлиши мумкин. Иккинчиси ундан фарқ қилиши керак: 38 тадан 37 имконият. Учинчиси иккаласидан ҳам фарқ қилиши керак: 38 тадан 36. Ўн олтинчиси ўн бешта рақамдан фарқ қилиши керак: 38 тадан 23.
Кўпайтиринг: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Такрорсиз табло – камёб ҳолат. Такрорли табло ғилдирак ҳақида ҳеч нарса демайди.
Европа ғилдирагини ўн марта айлантирганда 17 айнан беш марта чиқиши эҳтимоли қанча? Бирор рақам, исталган рақам, беш ёки ундан кўп марта чиқиши-чи? Ва тўртта айлантиришда бирор рақам камида уч марта чиқиши-чи?
Ечимни кўрсатиш
Жавоб 17 айнан беш марта: 315 576 тадан 1. Бирор рақам беш ёки ундан кўп марта: тахминан 8 333 тадан 1. Тўрт айлантиришда бирор рақам уч ёки ундан кўп марта: 349 тадан 1.
17 беш марта: ўнта айлантиришдан қайси бештасини танланг, 252 усул, ҳар бири (1/37)⁵ × (36/37)⁵ эҳтимол билан. Ҳаммаси бирга 315 576 тадан 1.
Бирор рақам: 37 та рақамнинг ҳар бири учун беш ёки ундан кўп марта тушиш эҳтимоли 308 325 тадан 1, бу 308 325 тадан 37, яъни 8 333 тадан 1 беради. Икки рақамнинг ҳар бири беш мартадан тушадиган камёб ҳолат икки марта саналади, лекин уни чиқариб ташлаш бу аниқликда ҳеч нарсани ўзгартирмайди.
Тўрт айлантиришда уч марта: битта рақам учун 37⁴ та мумкин бўлган натижадан 4 × 36 + 1 = 145 таси; 37 та рақамнинг исталгани учун 145/37³ = 349 тадан 1.
Қўш нолғилдиракНолҲеч бир тенг пул, ўн иккилик ёки устун ставка қопламайдиган ягона яшил катак; казино устунлигининг манбаи. Шунингдек: битта нол, 0.Тўлиқ ўқиш →ли ғилдирак учун тегишли кўрсаткичлар 359 275 тадан 1, 9 243 тадан 1 ва 368 тадан 1. “17” билан “бирор рақам” орасидаги фарқ – яна ўша туғилган кун масаласиматематикаТуғилган кун масаласиИкки кишининг туғилган куни бир хил бўлиши эҳтимоли юқори бўлиши учун нечта киши, ёки рақамнинг қайталаниши эҳтимоли юқори бўлиши учун нечта айлантириш кераклиги ҳақидаги масала. 37 катакли ғилдиракда 8 та айлантириш ярмидан ортиқ эҳтимол беради.Тўлиқ ўқиш →: ҳайратланишнинг 37 та йўли бор.
Бироз ҳазил
Нимадир эрта такрорланади. Ўша нимадир тасодифий.
Манбалар
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, рулетка саволлари.