Узоқ муддатли яқинлашув: рулеткада катта сонлар қонуни
Ўртача натижа қандай қилиб −2,70% атрофига ўрнашади ва нега бу сезги кутганидан узоқроқ вақт олади.
Айлантиришлар кўпайган сари бир айлантиришга тўғри келадиган ўртача йўқотиш −1/37 га яқинлашади, тарқоқлик эса 1/√N каби камаяди. Қизилга 1 000 айлантиришдан кейин ўртача натижа одатда кутилган қийматидан ±3% оралиғида бўлади.
Катта сонлар қонуни
Мустақил ставкаларнинг жорий ўртачаси кутилган қийматматематикаКутилган қийматУзоқ муддатда ҳар бир ставканинг ўртача натижаси. Ҳар бир стандарт Европа ставкаси учун тикилган сумманинг −1/37 қисми.Тўлиқ ўқиш →га интилади. Бир бирликпулБирликТизим ёки ўйинчи асос қиладиган бошланғич ставка. Ошириш тизимлари исталган столда қўлланиши учун бирликларда тасвирланади.Тўлиқ ўқиш →дан N та тенг пул ставкали айлантиришдан кейин бир айлантиришга тўғри келадиган ўртача натижанинг кутилмаси −1/37, стандарт оғишматематикаСтандарт оғишДисперсиянинг квадрат илдизи; натижанинг кутилган қийматдан одатий масофаси.Тўлиқ ўқиш →и эса 1/√N бўлади. N = 100 да бу тарқоқлик тикилган сумманинг 10% ини ташкил қилади, бу 2,7% лик сигналдан қарийб тўрт баравар катта. N = 1 000 да у 3,2%, яъни тахминан сигнал билан тенг. N = 10 000 да у 1% бўлади ва устунлик аниқ кўринади. Устунлик битта сессияда кўринмайди, бир йилда эса уни бошқа нарса билан адаштириб бўлмайди.
Нима яқинлашади ва нима яқинлашмайди
Бир айлантиришга тўғри келадиган ўртача натижа яқинлашади. Жами натижа эса яқинлашмайди: N ўсган сари у нолдан тобора узоқлашади, кутилма бўйича тахминан N нинг 2,7% ига, унинг атрофидаги тарқоқлик эса √N га тенг. $10 дан 10 000 айлантириш ўйнаган ўйинчи кутилма бўйича $2 700 зарарда бўлади, $1 000 у ёки бу томонга. ҚизилставкаҚизил18 та қизил рақамга тенг пул ставкаси. Французчаси: rouge.Тўлиқ ўқиш → чиқишларнинг жорий улуши аллақачон 48,65% атрофида ўрнашиб бўлган; жорий баланс эса ҳеч қаерда ўрнашмаган.
- p10 −$440
- p25 −$280
- медиана −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Сезги нега адашади
Одамлар устунлик тез намоён бўлишини кутадилар, чунки 2,70% кўпдек туюлади; узун сериялар “тенглашишини” ҳам кутадилар, чунки катта сонлар қонуниматематикаКатта сонлар қонуниМустақил натижаларнинг ўртачаси синовлар сони ортган сари кутилган қийматга яқинлашади.Тўлиқ ўқиш → ўртачалар яқинлашади, дейди. Иккала сезги ҳам миқёсни нотўғри баҳолайди: устунлик битта айлантиришнинг дисперсияматематикаДисперсияНатижалар кутилган қиймат атрофида қанчалик кенг тарқалишини ўлчайдиган миқдор. Битта рақамга ставкада юқори, тенг пул ставкаларда паст.Тўлиқ ўқиш →сига нисбатан кичик (σ = 1 бирлик, EV = 0,027), шунинг учун у бир сигма даражасида кўриниши учун (1/0,027)² ≈ 1 400 айлантириш керак. Ўртачанинг яқинлашуви эса жами натижани орқага тортиш учун ҳеч нарса қилмайди; у фақат ўтмишдаги тебранишларни суюлтиради.
Бошқа ставкалар учун яқинлашув
Битта рақамга ставкаставкаБитта рақамга ставкаБитта рақам, 35:1 тўлайди.Тўлиқ ўқиш →лар учун σ = 5,84, шунинг учун худди шу ҳисоб устунлик бир сигмага етиши учун (5,84/0,027)² ≈ 47 000 айлантириш беради. Битта рақамга ўйновчи ўйинчи йиллар давомида ўйнаши мумкин, унинг ўз ёзувларида эса устунликни омаддан ажратиб бўлмайди; шу билан бирга у устунликни бир неча ҳафта ичида кўрадиган қизилга ўйновчи ўйинчи билан айнан бир хил 2,70% тўлайди.
Тизимларни синаш учун хулоса
Тизим ишлайди, деб даъво қилган ҳар бир киши буни 10 000 ва ундан ортиқ айлантиришда ҳужжатлаштирилган ижобий ўртача билан кўрсата олиши керак. 1 000 айлантиришда тенг пул ставкасида ижобий ўртача нол гипотезаси остида бешдан бирга тенг эҳтимолли ҳодиса; 100 айлантиришда эса у деярли танга ташлашдек. Бу сайтдаги симуляторлар сиз танлаган узунликдаги 2 000 та сессияни бир сонияда ишга туширади, бу эса ҳар қандай гувоҳликдан кўпроқ далил.
Formula
Саволлар
Ўйнаган сари қачондир яна ютуққа чиқиш эҳтимолликматематикаЭҳтимолликНатижа юз бериш имконияти, 0 дан 1 гача ёки 0% дан 100% гача. Битта рақам: 1/37 = 2,70%.Тўлиқ ўқиш →и нолга томон камаяди. Жами натижа чегарасиз пастга силжийди.
Йўқ. Бу ўтмишдаги тебранишлар каттароқ танланманинг кичикроқ улушига айланади, дегани.
Тенг пул ставкалари учун устунлик аниқ кўринишидан олдин тахминан 10 000. Битта рақамга ставкалар учун тахминан 50 000.
Қизиқарли математика
Аввал ўзингиз ечиб кўринг. Ҳар бир ечим ёпиқ туради; тайёр бўлганингизда очинг.
Икки дўст адолатли ўйинматематикаАдолатли ўйинҲеч бир томонда устунлик бўлмайдиган ўйин: ҳар бир ставканинг кутилган қиймати нол.Тўлиқ ўқиш →нинг 20 раундини ўйнайди – танга ташлаш ёки нолғилдиракНолҲеч бир тенг пул, ўн иккилик ёки устун ставка қопламайдиган ягона яшил катак; казино устунлигининг манбаи. Шунингдек: битта нол, 0.Тўлиқ ўқиш →ларда ставка қайтариладиган қизилставкаҚизил18 та қизил рақамга тенг пул ставкаси. Французчаси: rouge.Тўлиқ ўқиш →га қарши қораставкаҚора18 та қора рақамга тенг пул ставкаси. Французчаси: noir.Тўлиқ ўқиш → – ва ҳисобни юритиб боради. Ҳар бири олдинда бўлган раундларни сананг (дуранг ундан олдин етакчи бўлган кишига ҳисобланади). Қайси бири эҳтимоллироқ: етакчиликнинг 10 раундга 10 раунд бўлинишими ёки бир дўстнинг 20 раунднинг ҳаммасида етакчилик қилишими?
Ечимни кўрсатиш
Жавоб Бир дўстнинг 20 раунднинг ҳаммасида етакчилик қилиши анча эҳтимоллироқ: иккала дўстни ҳисоблаганда 35,2%, тенг 10 га 10 учун эса 6,1%.
Адолатли ҳисобнинг 2k раунддан кейин тенг бўлиш эҳтимоли u = C(2k, k)/2²ᵏ: 10 раунддан кейин 0,246 ва 20 раунддан кейин 0,176. Машҳур натижа – арксинус қонуни – номи айтилган бир дўстнинг 2n раунддан айнан 2k тасида етакчилик қилиш эҳтимоли u(2k) × u(2n − 2k) эканини айтади.
Ҳамма 20 раундда етакчилик: ҳар бир дўст учун u(20) × u(0) = 0,176, иккаласидан бири учун 35,2%. Тенг бўлиниш: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, барча бўлинишлар ичида энг кам эҳтимоллиси.
Демак, адолатли ўйинда етакчилик камдан кам қўлдан қўлга ўтади. Бутун оқшом олдинда ёки бутун оқшом ортда бўлган ўйинчи ғайриоддий ҳеч нарса кўрмаган ва бу ғилдирак ёки маҳорат ҳақида ҳеч нарса демайди. Эпштейн (2013) узунроқ ўйинлар учун худди шу қонунни беради: ярим ҳолларда омадлироқ томон ўйиннинг 85% идан кўпроғида етакчилик қилади.
Бироз ҳазил
Ўртача яқинлашади. Жами эса шунчаки узоқлашиб кетади.
Манбалар
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.